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Método del Cruce del arrollo

El método del cruce del arrollo también llamado  algoritmo de Stepping –Stone, es  un método de programación lineal que consiste en calcular cuál sería la variación del costo del envio de una unidad de cierto producto por cada una de las ruta posibles, es decir asignar cierta cantidad de artículos desde varios  origines (fabricas) a un conjunto de destinos (clientes) de tal manera que se disminuyan los costos,  hasta optimizar la función objetivo.

Para mostrar el funcionamiento de este método Vamos a determinar la solución optima del siguiente modelo con el método del cruce del arrollo

DESTINOS

Fuentes 1 2 3 4 Oferta
1           10 0 20 11 15
2 12 7 9 20 25
3 0 14 16 18 5
Demanda 5 15 15 10 45

Tenemos 4 destinos y 3 fuentes cada fuente es de donde va a salir el material, y los destinos serian los clientes.

En la parte inferior de la tabla tenemos la demanda de cada cliente y en la parte derecha la oferta de cada fuente

Queremos determinar cuánto material enviar de cada fuente a cada destino minimizando los costos, en la parte superior derecha están el costo de envió cada celda, por ejemplo por cada artículo que se envié de la fuente dos al cliente dos tendrá un costo de 7 unidades monetarias.

  1. El primer paso es verificar que la oferta y la demanda son iguales, en cuanto a la oferta15+25+5 serian 45 y la demanda seria 5+15+15+10 igual a 45, es decir que son iguales
  2. Hallar  la solución inicial factible ya sea por el método de la esquina noroeste, costo mínimo o aproximación de vogél, una vez hallada, se calcula la solución es decir Z y verificamos si la solución es degenerada con la formula numero de columnas mas numero de filas menos uno debe ser menor o igual al numero de celda vacias ( #C + #F – 1 ≤  # celdas vacias)
DESTINOS
Fuentes 1 2 3 4 Oferta
1           10 0 20 11 15
2 12 7 9 20 25
3 0 14 16 18 5
Demanda 5 15 15 10 45
  • Z= 410
  • F+C-1 ≤numero de casillas llenas 4+3-1 ≤6   si se cumple
  1. Luego pasamos esta solución a una nueva tabla para hacer la primera iteración iniciamos colocando el número 10 en la parte derecha de la primera fila, también puedes ser un cero por ejemplo y dará el mismo resultado,  El numero 10 va a representar toda la primera fila, así que procedemos a restar el costo de las casillas llenas menos el numero 10.10 menos 10, cero, este número se coloca en la parte arriba, luego 0 menos 10… Menos 10, no continuamos porque las siguientes son vacías, así que continuamos con el -10 que representa la segunda columna

  1. Debido a que se necesita hallar una solución optima mejor que la anterior hay que asignarle una cantidad de material a una de las celdas vacías, así que comenzamos a sumar los números que hayamos, en cada casilla vacia se suma el numero de la fila mas el de la calumna.

Se  marca con un punto las casillas en que la cantidad de material sea mayor al costo en este caso son 17, 15 y 13, a la casilla que le vamos a asignar el material es a la que tenga el menor costo de trasporte, en este caso es  el 15 , pero si le asignamos un valor a esta casilla la primera columna y la última fila quedan con material de sobra, por esto le restamos esta misma cantidad a la fila y la columna, luego la primera fila queda con menos material, por esto se le suma esta misma cantidad a la casilla del 10, entonces la segunda columna queda con exceso de material, así q se le resta esta misma cantidad a la celda siguiente que sería el 5 y finalmente para equilibrar la segunda fila se suma este valor a la casilla del5 y de esta manera cerramos el ciclo, y la cantidad de material asignado que se sumara y restara en las casillas será el menor valor de las casillas con signo negativo, en este caso sería el 5

Luego repetimos una vez más el ciclo desde el paso 3, hallamos la solución Z y si la solución es degenerada:

Hallamos el costo en esta solución optima y obtenemos

Z= 15(9)+10(20)= 335

De lo cual podemos observar que el costo mínimo es menor al hallado anteriormente. Luego procedemos a verificar si la solución es degenerada        #F + #C-1≤ casillas llenas de lo cual tenemos: 4+3-1 ≤ 4

Debido a que no se cumple al inecuación podemos deducir que esta solución si es degenerada por lo cual necesitaremos una cantidad muy pequeña llamada épsilon  (E ) su valor tiende  a cero , serian dos para cumplir la desigualdad. Al finalizar obtenemos la siguiente  tabla y repetimos el ciclo.  Sabremos que hemos terminado una vez el costo mínimo (Z) deja de disminuir o deja de haber casillas marcadas con *

Z=7(10)+15(9)+10(11)=315

es decir que el costo disminuyo

Verificamos si la solución es degenerada  y obtenemos 4+3-1≤5 no se cumple la inecuación, por lo cual necesitamos un épsilon, Al finalizar obtenemos la siguiente solución.

Si embargo en este caso no hay ninguna casilla en la que se pueda marcar * por lo cual la respuesta con un costo de Z=315 es:

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