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Definición

PROGRAMACIÓN LINEAL

Adentrándonos en la historia explícita de la humanidad, con este respecto me refiero al pensamiento puro matemático para lograr de antemano una forma estándar para un problema específico que produjera el mayor de los resultados.

El antiguo ser humano utilizo el pensamiento insipiente para hacer herramientas a partir de rocas, viviendas a partir de cueros y que también los utilizabas para sus vestidos. Su mentalidad estaba reducida a un a la experiencia. Posteriormente fue optimizando los materiales y a la vez mejoraba el pensamiento para vivir cada vez mejor.

Más adelante en nuestra historia con la representación de las cantidades y signos lingüísticos el ser humano tuvo una herramienta más eficaz, aunque parecía invisible, radicaba en su pensamiento: logro utilizar los signos para de alguna manera predecir el futuro, y guiarse hacia unos objetivos.

En el año de 1950 con el auge de la industrialización, y el intelectualismo, la revolución científica y matemática se crearon unos sistemas matemáticos que guardaban una proporcionalidad de acuerdo a unos datos y alrededor de un contexto determinado; se hizo necesario para prevalecer intelectualmente rendir la producción y crear progreso, es decir, vivir de una manera más cómoda.

La programación lineal se refiere a la creación de sistemas matemáticos que tengan una constante que se puedan aplicar  a las actividades determinadas de un grupo social, por ello se dice que es una teoría con pie o base matemática para sistematizar, y con ellas predecir y funcionar de una forma optima.

Una programación lineal creada sobre el papel genera una línea oblicua y ascendente entre los dos ejes X,Y de un plano cartesiano, en estas condiciones hay coordinación directa, como pasa en un movimiento uniforme en el área de física.

Para el creador de la programación lineal George Dantzig, la matemática es el mundo de herramientas y la industria, la sociedad en su campo de trabajo y el futuro optimo, su futuro principal.

Para George Dantzig principal creador de la programación lineal su método simplex en la diagramación de diferentes datos logra una significativa producción y disminución en los gastos que tendría utilizando gran cantidad de ejecutores en una tarea específica. La programación lineal de Dantzing estimula la simplificación máxima porque aporta un sistema rápido y convincente en un ámbito cultural o económico considerado.

APLICACIONES DE LA PROGRAMACION LINEAL

La utilización de este “lenguaje matemático” en la sociedad actual, tiene los siguientes campos:

  • Finanzas: para lograr el ordenamiento, producción y distribución de las divisas o unidad monetaria.
  • Producción industrial, en este caso se hace más importante porque contiene una serie de consumidores denominados mercado, y estos determinan un sistema matemático o estadístico, con lo cual se puede hacer más fácil la programación lineal.
  • Logística, es la forma matemática de plantear el funcionamiento de una labor individual o colectiva y busca la plena realización de tal evento. Como en las anteriores aplicaciones debe tener conocimiento previo cultural o logístico para lograr determinar el comportamiento de los consumidores del producto y así elaborar la grafica de la programación lineal.
  • Medicina, el comportamiento de los organismos vivos obedecen a sistemas cíclicos y repetitivos el intervalo, en efecto, se pueden programar linealmente, claro está bajo la perseverancia e ingenio de la persona. Los objetivos de la programación lineal en la medicina son entre otros el aporte del conocimiento para producir vacunas, y crear aspectos teóricos que fijen una manera de vivir sanamente.
  • Marketing, para determinar la combinación de medios publicitarios a utilizar de forma que sea más efectiva la publicidad de nuestros productos y llegue al mayor número de personas.
  • Distribución de tareas, nos permite distribuir de la forma más eficaz las tareas a cada empleado.
  • Planificación de horarios, permite tener en el momento indicado la cantidad ideal de trabajadores produciendo así una respuesta oportuna a las necesidades de personal.
  • Problemas de transporte, permite determinar una distribución optima de los bienes, saber cuánto se debe enviar de cada origen a cada destino y con el menor costo.

La programación lineal puede ser aplicable a todas aquellas actividades que buscan objetivos específicos y en reciprocidad tienen funciones para lograr objetivos comunes y óptimos, en los ámbitos industriales o de gestión, en general en la toma de decisiones.

¿Qué es y cómo se hace una programación lineal?

Para este tema introduciremos un problema, del cual se irá describiendo los términos más importantes que se usan en la programación lineal a medida que se desarrolla.

Ejemplo 1.

La compañía franco se dedica a la manufacturación de ventanas 100×140cm. Cada lado de la ventana se corta de una misma barra, el cual tiene una longitud de 250 cm, y posee el mismo espesor de los lados de la ventana. Para el mes de julio se ha requerido un pedido de 150 ventanas. El jefe de producción tiene la tarea diseñar un plan el cual se ahorre la mayor cantidad de Desperdicio en el momento del corte.

Figura 1

Función objetivo

Es muy importante entender claramente que es lo que se pide, cada problema de programación lineal lleva una tarea de maximizar o minimizar un sistema, en este caso cuando nos hablan de ahorrar se refiere a “minimizar”. Por lo general el término de maximización se denotan z_max y el término de minimización se denota z_min.

Para muchos problemas como en este caso es importante simplificar el sistema mediante un gráfico, la construcción de una tabla o un diagrama el cual ayude a ver de una forma más clara como actúa el proceso, y por ende lo que se quiere maximizar o minimizar. Para este problema se ha construido un bosquejo grafico sobre los posibles cortes que se pueden hacer en la barra.

Figura 2

Como se muestra en la figura 2 cada una de los posibles cortes con sus respectivos desperdicios se encuentran nombradas (A, B y C), para el tipo de corte A se obtiene un desperdicio de 75cm, para el tipo de corte B se obtiene un desperdicio de 15cm y para el desperdicio C se obtiene un desperdicio de 55cm. Según las condiciones del problema el objetivo principal será minimizar los 75cm de desperdicios del corte A más los 15cm de desperdicios del corte B más los 55cm de desperdicios del corte C; por lo tanto la función objetivo escrita de una forma simplificada quedara como sigue:

z_min=75A+15B+55C

Los números 75, 15, 55 especifican que se desperdicia ese número de cm cuando se corta con los tipos A, B, C respectivamente. Así, si se utilizaron 20 cortes del material A se desperdiciara en total 75×20 cm=1500cm.

Restricciones

Toda función objetivo debe estar sujeta a restricciones, si en este problema no los hubiese, la función objetivo tomaría un valor de cero, esto se debe a que el cero es el valor más mínimo que podría tomar la función. Afortunadamente los valores de A, B y C están controlados según las especificaciones del problema:

Cada ventana posee 2 lados de 100cm y 2 lados de 140cm

Se requieren 150 ventanas.

Se necesitaran 300 lados de 100cm y 300 lados de 140cm

Podemos observar además que del corte A se fabrican dos lados de 140cm y del corte B se fabrica un lado de 140cm, por lo tanto:

2A+B=300

Podemos entender esta expresión de la siguiente forma: los únicos cortes que producen lados de 140cm son el A y el B, Ahora bien se requiere en total 300 unidades de 140cm, pero se debe tener en cuenta que por cada corte del tipo A que se haga producirá 2 lados de 140cm y por cada corte que se haga del tipo B producirá un lado de 140cm.

Por otro lado del corte B se hace 2 lados de 100cm y del corte C se hace 3 lados de 100cm, por lo tanto:

2B+3C=300

El análisis para esta expresión es similar a la anterior.

Reordenando nuestra función objetivo y las restricciones queda como sigue:

z_min=75A+15B+55C

Sujeto a (s.a):

2A+B=300

2B+3C=300

A,B,C≥0

La última restricción se refiere a que no se requiere números negativos en la respuesta

Con ayuda de solver en Excel se ha llegado a la respuesta de:

A=75; B=150; C=0 y z=7875

Es decir se hará 75 cortes del tipo A y 150 cortes del tipo B con lo cual se obtiene un mínimo d desperdicio de 7875 cm.

En general los problemas de programación lineal tienen tres componentes básicos:

Las variables de decisión, el cual, es lo que se va a determinar, en el problema anterior fueron A, B y C.

La función objetivo del problema, el cual es lo que se quiere mejorar u optimizar

Las restricciones que delimita el problema y que se deben cumplir

Es muy común a veces encontrar problemas de proporcionalidad, en donde un proceso depende de las especificaciones de otro por ejemplo se tienen el siguiente caso:

En la granja “la viña” cosecha dos tipos tres tipos de productos, los cuales son espinaca, lechuga y repollo, los precios de cada uno se muestran en la tabla:

Un comprador desea invertir en su totalidad un máximo de 38500 pero deben cumplirse algunas especificaciones, por ejemplo por cada libra de repollo que se compre se deben comprar dos libras de lechuga, y por cada 4 libras de lechuga más 2 libras de repollo, se deben comprar 3 libras de espinaca, también se sabe que se deben comprar por lo mínimo 3 libras de espinaca, por lo máximo 15 libras de repollo y como mínimo 8 libras de lechuga. Desarrolle un modelo de programación lineal que maximice las ganancias del vendedor.

Sean las variables:

x_1=libras de espinaca

x_2=libras de repollo

x_3=libras de lechuga

Función objetivo:

z_max=1000x_1+1500x_2+2550x_3

Restricciones:

El comprador desea invertir un máximo de 38500, por lo tanto:

1000x_1+1500x_2+2550x_3≤38500

Si por cada libra de repollo que se compre se deben comprar dos libras de lechuga, la restricción quedara así:

x_2=x_3/2

Por otro lado por cada 4 libras de lechuga más 2 libras de repollo, se deben comprar 3 libras de espinaca, la restricción quedara así:

x_3/4+x_2/2=x_1/3

Las demás restricciones se desarrollan fácilmente como sigue:

x_1≥3

x_2≤15

x_3≥8

x_1,x_2 〖,x〗_3≥0

Con ayuda de solver se encontró la solución más óptima:

x_1=12; x_2=4; x_3=8; z=38400

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